無理數

不能表示為整數的比率的實數
各种各样的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

無理數(irrational number)是指有理数以外的实数,當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis,意思是「理解」,实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译,是指无法用两整数之比来说明的无理数。

有理數實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多,並且不會循環,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比)。常見無理數有大部分的平方根πe(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式

傳說中,无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现,他以幾何方法證明無法用整数分數表示;而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信無理數存在,後來希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機

無理數可以通過有理數的分划的概念來定義。

举例

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  1.  =1.73205080…
  2.  3=0.47712125…
  3. e=2.71828182845904523536…
  4. sin 45°= =0.70710678…
  5. π=3.141592653589793238462…

性质

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  • 无理数加或减无理数不一定得无理数,如 
  • 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
  • 无理数的平方根立方根等次方根必得无理数。

不知是否是無理數的數

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π+e、π-e等,事实上,對于任何非零整數  ,不知道 是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有π-π=0、 等除外。

我們亦不知道   欧拉-马歇罗尼常数 卡塔兰常数 费根鲍姆常数是否無理數。

無理數集的特性

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無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式

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選取正實數 使

 

經由遞迴處理

 

無理數之證

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證明 是无理数

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假设 是有理数,且  是最简分数。

两边平方,得 。将此式改写为 ,可见 为偶数。

因为平方运算保持奇偶性,所以 只能为偶数。设 ,其中 为整数。

代入可得 。同理可得 亦为偶数。

这与 为最简分数的假设矛盾,所以 是有理数的假设不成立。

證明 是无理数

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假設 是有理數,兩邊平方得

 

其中因為 是有理數,所以 也是有理數。

透過證明 為無理數的方法,其中 為一非完全平方数

可以證明 是無理數

同樣也推出 是無理數

但這又和 是有理數互相矛盾

所以 是一無理數

證明 是无理数

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證一

同樣,假設 是有理數,兩邊平方得

 

於是 是有理數。兩邊再次平方,得:

 

於是 

由於 是有理數,所以

 

 

透過證明形如 的數是無理數的方法,得出 也是一無理數

但這結果明顯和  皆為有理數出現矛盾,故 為無理數

證二

同樣假設 是有理數,

 

 ,兩邊平方:

 

 

 

證明 形式的數是無理數的方法,得出 是無理數

也是矛盾的。

證明 是无理数

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 ,兩邊平方得

 

 ,得到 為一有理數

 ,兩邊繼續平方:

 

 

 

 

 

由於  皆為有理數

  亦為有理數

證明 形式的數是無理數的方法可知 為無理數

這和 是有理數衝突

所以得證 為無理數

参见

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外部連結

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