无理数

不能表示為整數的比率的實數
各种各样的
基本

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无限大

无理数(irrational number)是指有理数以外的实数,当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis,意思是“理解”,实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译,是指无法用两整数之比来说明的无理数。

有理数实数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点后有无限多,并且不会循环,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比)。常见无理数有大部分的平方根πe(后两者同时为超越数)等。无理数另一特征是无限的连分数表达式

传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现,他以几何方法证明无法用整数分数表示;而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数存在,后来希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机

无理数可以通过有理数的分划的概念来定义。

举例

编辑
  1.  =1.73205080…
  2.  3=0.47712125…
  3. e=2.71828182845904523536…
  4. sin 45°= =0.70710678…
  5. π=3.141592653589793238462…

性质

编辑
  • 无理数加或减无理数不一定得无理数,如 
  • 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
  • 无理数的平方根立方根等次方根必得无理数。

不知是否是无理数的数

编辑

π+e、π-e等,事实上,对于任何非零整数  ,不知道 是否无理数。

无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数,只有π-π=0、 等除外。

我们亦不知道   欧拉-马歇罗尼常数 卡塔兰常数 费根鲍姆常数是否无理数。

无理数集的特性

编辑

无理数集是不可数集(有理数集是可数集而实数集是不可数集)。无理数集是不完备拓扑空间,它与所有正数数列的集拓扑同构,当中的同构映射是无理数的连分数开展,因而贝尔纲定理可应用于无数间的拓扑空间。

无理化作连分数的表达式

编辑
 

选取正实数 使

 

经由递回处理

 

无理数之证

编辑

证明 是无理数

编辑

假设 是有理数,且  是最简分数。

两边平方,得 。将此式改写为 ,可见 为偶数。

因为平方运算保持奇偶性,所以 只能为偶数。设 ,其中 为整数。

代入可得 。同理可得 亦为偶数。

这与 为最简分数的假设矛盾,所以 是有理数的假设不成立。

证明 是无理数

编辑

假设 是有理数,两边平方得

 

其中因为 是有理数,所以 也是有理数。

透过证明 为无理数的方法,其中 为一非完全平方数

可以证明 是无理数

同样也推出 是无理数

但这又和 是有理数互相矛盾

所以 是一无理数

证明 是无理数

编辑

证一

同样,假设 是有理数,两边平方得

 

于是 是有理数。两边再次平方,得:

 

于是 

由于 是有理数,所以

 

 

透过证明形如 的数是无理数的方法,得出 也是一无理数

但这结果明显和  皆为有理数出现矛盾,故 为无理数

证二

同样假设 是有理数,

 

 ,两边平方:

 

 

 

证明 形式的数是无理数的方法,得出 是无理数

也是矛盾的。

证明 是无理数

编辑

 

 ,两边平方得

 

 ,得到 为一有理数

 ,两边继续平方:

 

 

 

 

 

由于  皆为有理数

  亦为有理数

证明 形式的数是无理数的方法可知 为无理数

这和 是有理数冲突

所以得证 为无理数

参见

编辑

外部链接

编辑