集合建构式符号

数学里,集合建构式符号set-builder notation)是常用于描述集合的一种记号,这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化set abstraction)或set comprehension。一般写为,分别只在于论域的不同,前者的元素恰好是那些符合谓词P的集合,而后者的元素除了符合谓词P,还得是S的元素。

范例:三角形数的集合

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海什木(Alhazen)的正整数和公式推导。

三角形数的集合为例。三角形数有一个规则,它是正整数的和

下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素:

 
 
 
 
 
 
 
 
其中,n正整数S是左式的结果。

于是我们归纳出一个规则(即公式):

 

这个规则可代表集合T中的元素。于是,集合T可以简写为:

 

在上面的简单范例中,我们将一个繁复的集合表示法,透过一个简单的规则,重新以简单的符号来表示这个集合。

集合建构式与一阶逻辑

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当一个集合的元素是用某种公式或条件(亦即,一个函数)所产生,这时候就可以用集合建构式来表示,例如:

  • 偶数集合 =  是2的倍数 
  • 负数集合 =  是小于0的数 

就哲学上来说,这些元素具有某种共同的性质(2的倍数,或是小于0);在一阶逻辑中,这个性质可以使用谓词来表示,而该集合的一般格式为:

 

以偶数集合为例,其谓词 “是2的倍数”。  是2的倍数”,被称为一个命题函数

集合 的元素必定是另一个集合 的元素 ,使得 为真(亦即,  的一个子集),一般表述为:

 或是 

在这里, 是谓词, 是主词( 集合中的一个元素), 是一个传回真假值的命题函数

 

所以,在数学中,谓词被视为一种布林值函数

在实例中,如果没有指定 集合,就表示 集合是由谓词 所给出。

集合建构式例句

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  • 正整数集合可用下列建构式表示:
    •  是大于0的整数 
    •  
  • 偶数集合可用下列建构式表示:
    •  是2的倍数 
    •  
  • 负数集合可用下列建构式表示:
    •  是小于0的数 
    •  
    •  
  • 平方数集合可用下列建构式表示:
    •  是某个整数的平方 
    •  
    •  
    •   s.t.  

在这里,有几个习惯用法:

  • 冒号和竖线是一样的,意思是“使得(such that,简写为s.t.)”。一般来说,冒号与竖线只使用在最前面,接下来的“使得”都使用别的符号,例如s.t.或是 。但是偶尔也会看到这样的句子,奇数
 
另一个更简洁的句子可以表达相同的意思:
 
  • 一般来说, 是省略不写的,但是偶尔会看到使用 的句子。一个复杂的例句如下,非平方数:
 

参见

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外部链接

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