微積分基本定理

定理

微積分基本定理(英語:Fundamental theorem of calculus)描述了微積分的兩個主要運算──微分積分之間的關係。

定理的第一部分,稱為微積分第一基本定理,此定理表明:給定任一連續函數,可以(利用積分)構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數反導函數的存在性。

定理的第二部分,稱為微積分第二基本定理牛頓-萊布尼茨公式,表明某函數的定積分可以用該函數的任意一個反導函數來計算。這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理,因為它大大簡化了定積分的計算。[1]

該定理的一個特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)證明和出版。[2]定理的一般形式,則由艾薩克·巴羅完成證明。

對微積分基本定理比較直觀的理解是:把函數在一段區間的「無窮小變化」全部「加起來」,會等於該函數的淨變化,這裏「無窮小變化」就是微分,「加起來」就是積分,淨變化就是該函數在區間兩端點的差。

我們從一個例子開始。假設有一個物體在直線上運動,其位置為,其中為時間,意味着的函數。這個函數的導數等於位置的無窮小變化除以時間的無窮小變化(當然,該導數本身也與時間有關)。我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。用萊布尼茲記法

整理,得

根據以上的推理,的變化──,是的無窮小變化之和。它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。這個無窮的和,就是積分;所以,一個函數求導之後再積分,得到的就是原來的函數。我們可以合理地推斷,這個運算反過來也成立,積分之後再求導,得到的也是原來的函數。

歷史

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詹姆斯·格里高利首先發表了該定理基本形式的幾何證明[3][4][5]艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式[6]。巴羅的學生艾薩克·牛頓完善了微積分的相關理論。萊布尼茨使得相關理論實現體系化並引入了沿用至今的微積分符號。

正式表述

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微積分基本定理有兩部分,第一部分是定積分的微分,第二部分是原函數和定積分之間的關聯。

第一部分 / 第一基本定理

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    黎曼可積分,定義函數   如下:

 

  1.  閉區間   連續
  2.    連續,則 

第二部分 / 第二基本定理

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圖解

若兩函數   滿足:

  •   (即    的一個原函數)
  •    黎曼可積分

則有:

 

可簡記為

 

證明

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第一部分

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(1)   連續

因為   為黎曼可積,所以   有界 (否則會有矛盾) ,也就是存在   使

  (對所有的  )

根據黎曼積分的定義,若取  

 

那這樣,如果取    ,則

 

那根據函數極限的定義,可以得到

 

故得証。  

(2)若    連續,則 

   連續意為:對所有   ,都存在   使得所有的   定義域裏的   只要滿足   就有  

而根據黎曼積分的定義可以知道,若對黎曼可積分的    ,則

 

這樣考慮上述連續定義   的部分會有

 

類似的,   的部分會有

 

那同樣根據函數極限的定義,就有

 

即為所求。  

第二部分

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 在區間 上連續,並設  的原函數。我們從以下表達式開始

 

設有數

 

使得

 

可得

 

我們加上 及其相反數,這樣等式仍成立:

 

以上表達式可用以下的和表示:

 

我們將使用中值定理。就是:

 在閉區間 連續,在開區間 可導,則開區間 內一定存在 使得

 

可得

 

函數 在區間 可導,所以在每一個區間 也是可導和連續的。因此,根據中值定理,

 

把上式代入(1),得

 

根據第一部分的結論,我們有 。另外, 可表示為第 個小區間的 

 
 
一個黎曼和的收斂數列。右上角的數是灰色矩形的面積。它們收斂於函數的積分。

注意到我們正在描述矩形的面積(長度乘以寬度),並把這些面積相加起來。每一個矩形都描述了一部分曲線的估計。同時也注意到, 並不需要對於任何 都是相同的,換句話說,矩形的長度可以變化。我們要做的,是要用 個矩形來近似代替曲線。現在,當 增加而每一個矩形越來越小時,它的面積就越來越接近曲線的真實面積。

當矩形的寬度趨近於零時取極限,便得出黎曼積分。也就是說,我們取最寬的矩形趨於零,而矩形的數目趨於無窮大時的極限。

所以,我們把(2)式的兩邊取極限,得

 

  都不依賴於 ,所以左面的極限仍然是 

 

右邊的表達式定義了   的積分。這樣,我們有

 

證明完畢。

例子

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計算以下積分:

 

在這裏,  是一個原函數。因此:

 

推廣

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我們不需要假設 在整個區間是連續的。這樣定理的第一部分便說明:如果 是區間 內的任何一個勒貝格可積的函數,  內的一個數,使得  連續,則

 

 是可導的,且 。我們可以把 的條件進一步降低,假設它僅僅是可積的。這種情況下,我們便得出結論: 幾乎處處可導,且 幾乎處處等於 。這有時稱為勒貝格微分定理

定理的第一部分對於任何具有原函數 的勒貝格可積函數 都是正確的(不是所有可積的函數都有原函數)。

泰勒定理中把誤差項表示成一個積分的形式,可以視為微積分基本定理的一個推廣。

對於複數函數,也有一個類似的形式:假設  的一個開集, 是一個在 處具有全純原函數 的函數。那麼對於所有曲線 曲線積分可以用下式來計算:

 

微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分,也可以推廣到流形

這個方向上的一個有力的表述是斯托克斯定理:設 為一個可定向分段光滑 維流形,並設   上的C1緊支撐微分形式。如果 表示M 邊界,並以 的方向誘導的方向為邊界的方向,則

 

這裏 外導數,它僅僅用流形的結構來定義。斯托克斯定理將德拉姆餘調和奇異鏈的同調聯繫起來。

參見

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註解

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  1. ^ 更加確切地,該定理涉及了可變上限和任意選擇的下限的定積分。這類特殊的定積分允許我們計算函數的無窮多個原函數之一(除了那些沒有零點的原函數)因此,它幾乎跟不定積分是等價的,大部分作者把它定義為產生任何一個可能的原函數的運算,包括沒有零點的原函數。
  2. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114頁面存檔備份,存於互聯網檔案館).
  3. ^ Malet, Antoni. James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions. Archive for History of Exact Sciences (Springer-Verlag). 1993. doi:10.1007/BF00375656. Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137) 
  4. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
  5. ^ Gregory, James. Geometriae Pars Universalis. Museo Galileo: Patavii: typis heredum Pauli Frambotti. 1668. 
  6. ^ Child, James Mark; Barrow, Isaac. The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago: Open Court Publishing Company. 1916. 

參考文獻

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  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)