等比数列,是数列的一种。在等比数列中,任何相邻两项的比例相等,该比值称为公比。因为数列中的任意一项都等于相邻两项的几何平均数,所以又名几何数列(英语:Geometric progression)。

例如数列:

就是一个等比数列。在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公比都等于

性质

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如果一个等比数列的首项记作 ,公比记作 ,那么该等比数列第  的一般项为:

 

换句话说,任意一个等比数列 都可以写成

 


在一个等比数列中,给定任意两相连项  (其中 ),可知公比

 

给定任意两项  ,则有公比

 

这里注意,若 偶数,则公比可取此结果的正值或负值。


此外,在一个等比数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之积,为原来该项的平方。举例来说, 

更一般地说,有:

 

证明如下:

 

证毕。


从另一个角度看,等比数列中的任意一项,是其相邻两项的几何平均

 

此结果从上面直接可得。


如果有整数 ,使得  ,那么则有:

 

证明如下:

 


由此可将上面的性质一般化成:

 
 

其中 是一个小于 的正整数。


给定一个等比数列  ,则有:

  •   是一个等比数列。
  •   是一个等比数列。
  •   是一个等差数列


从等比数列的一般项可知,任意一个可以写成

 

形式的数列,都是一个等比数列,其中公比 ,首项 

公比

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公比(英语:Common ratio)是对于等比数列这一特殊数列而言的,它是指在等比数列中后一与前一项的

等比数列的通项公式

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等比数列都满足: 。例如,数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0(因为N÷0),否则为未定义

等比数列和

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一个等比数列的首 项之和,称为等比数列和(sum of geometric sequence)或几何级数(geometric series),记作 

举例来说,等比数列 的和是 

等比数列求和的公式如下:

 

其中 为首项, 为项数, 为公比,且 

公式证明如下:

将等比数列和写作以下形式:

  ……(1)

将两边同乘以公比 r,有:

  ……(2)

(1)式减去(2)式,有:

 

 时,整理后得证。

 时,可以发现:

 

综上所述,等比数列的求和公式为:

 

 时,注意到

 

因此,我们可得无限项之和(sum to infinity)的公式为

 

由此可见,当 时,几何级数会收敛到一个固定值。

等比数列积

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一个等比数列的首 n 项之积,称为等比数列积(product of geometric sequence),记作 Pn

举例来说,等比数列 的积是 


等比数列求积的公式如下:

 

证明如下:

 

第二步,公比r的指数中,0来自于数列的第一项。最后一步,使用了等差数列的求和公式,通项为 

参见

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参考文献

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